[PDF] 2012 Australian Mathematics Competition AMC Intermediate Years 11 and 12.pdf | Plain Text

SENIOR DIVISION COMPETITION PAPER INSTRUCTIONS AND INFORMATION GENERAL 1. Do not open the booklet until told to do so by your teacher. 2. NO calculators, slide rules, log tables, maths stencils, mobile phones or other calculating aids are permitted. Scribbling paper, graph paper, ruler and compasses are permitted, but are not essential. 3. Diagrams are NOT drawn to scale. They are intended only as aids. 4. There are 25 multiple-choice questions, each with 5 possible answers given and 5 questions that require a whole number answer between 0 and 999. The questions generally get harder as you work through the paper. There is no penalty for an incorrect response. 5. This is a competition not a test; do not expect to answer all questions. You are only competing against your own year in your own State or Region so different years doing the same paper are not compared. 6. Read the instructions on the answer sheet carefully. Ensure your name, school name and school year are entered. It is your responsibility to correctly code your answer sheet. 7. When your teacher gives the signal, begin working on the problems. THE ANSWER SHEET 1. Use only lead pencil. 2. Record your answers on the reverse of the answer sheet (not on the question paper) by FULLY colouring the circle matching your answer. 3. Your answer sheet will be scanned. The optical scanner will attempt to read all markings even if they are in the wrong places, so please be careful not to doodle or write anything extra on the answer sheet. If you want to change an answer or remove any marks, use a plastic eraser and be sure to remove all marks and smudges. INTEGRITY OF THE COMPETITION The AMT reserves the right to re-examine students before deciding whether to grant official status to their score. AUSTRALIAN SCHOOL YEARS 11 AND 12 TIME ALLOWED: 75 MINUTES ©AMT P ublishing 2012 AMTT liMiTed Acn 0 8 3 9 5 0 3 41 A u s t r Al i An M At h e M At i c s c o M p e t i t i o n An AcTi v i Ty o f Th e A u s Tr A l i An M A T h eM A T i c s Tr u s T THURSDAY 2 AUGUST 2012 NAME

SeniorDivision Quest io ns 1to 10, 3 m arks each 1 . The expression 2012−2.012 equals (A) 2010.012 (B)2010.998 (C)2009.998 (D)2012.012 (E)2009.988 2. By what num ber must 6be divided toobtain 1 3as aresult? (A) 18 (B)1 2 (C) 1 18 (D) 2 (E)9 3. In the diagram, thesizes indegrees ofthree angles aregiven. Find thevalue ofx. (A) 90 (B)95 (C)100 (D) 110 (E)120 .............................................................................................................................................................................................................................................................................. . ................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30◦ 50◦ 40◦ x◦ 4 . The straigh tline joining thepoin ts(0,2) and(2,8) alsopasses through (A) (4,14) (B)(3,14) (C)(3,10) (D)(4,10) (E)(2,0) 5. What isthe num ber that ishalfw ay bet ween a band c b? (A) 1 (B)a − c b (C) a + c b (D) a − c 2b (E) a + c 2b 6 . If 3 16 × 27 10 = 9 x,then xequals (A) 18 (B)21 (C)23 (D)26 (E)27 7. If p p − 2q = 3then p qequals (A) 3 (B)1 3 (C) 2 3 (D) 2 (E)−3

S2 8. Tw operfume bottles aresimilar inshap ebut onehastwice theheigh tof the other. T ogether theycontain 270mL ofperfume. Howmuc hperfume, inmillilitres, isin the smaller bottle? (A) 27 (B)30 (C)50 (D)54 (E)60 9. If xand yare positiv eintegers, how man yintegers aregreater thanxybut less than x(y + 1)? (A) 1 (B)x− 2 (C)y− 1 (D)x (E)x− 1 10. The architecture ofFederation SquareinMelb ourne isbased onframes assho wn in whic halarge triangle issub divided into 5iden tical triangles, eachsimilar tothe large triangle. ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ............................. .. ............................. ........................ ............................................................................................................. If the shortest sideofone ofthe smallest triangles is1m, how man ymetres of framing arerequired toconstruct thewhole shape? (A) 20 (B)8+ 4√ 5 (C)10+4√ 5 (D)12+4√ 5 (E)15+5√ 5 Quest io ns 11 to 20, 4 m arks each 1 1. Fiv edistinct integers arearranged inorder, withthesmallest being 5and the largest being 16.The mean ofthe fiveintegers isprime andisalso equal tothe median. Thenum ber ofpossibilities forthe second largestnum ber is (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4 12. The av erage of3 32,3 52and 3 72is (A) 9√ 3 (B)10√ 3 (C)11√ 3 (D)12√ 3 (E)13√ 3

S3 13. Triangle PQ R isrigh t-angled atR.The circle withcentre Pand radius PR cuts P Q at Sand thecircle withcentre Qand radius QS cuts QR at T. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . ........... .. P R T Q S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . If T bisects QR,then theratio QS :S P equals (A) 7:12 (B)5:12 (C)5:8 (D) 3:4 (E)2:3 1 4. In athree-game seriesofbask etball withjusttw o teams, Wollongong andTownsville, the probabilit ythat Wollongong willwineachgame istwice theprobabilit ythat T ownsville willwin. What isthe probabilit ythat Townsville willwintheseries? (A) 1 3 (B) 2 9 (C) 5 27 (D) 7 27 (E) 5 18 1 5. The square shown has side 20cm. A‘V’ isshaded assho wn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................... .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................................... . ............................................................................................................................................................... .............. . ............................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................... ...... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . .. . .. .. 4 12 4 8 48 Thearea shaded, insquare centimetres, is (A) 136 (B)150 (C)164 (D)188 (E)200 16. If the num ber 10 2012 −2012 iswritten outinfull, thesum ofits digits is (A) 18100 (B)18104 (C)18108 (D)18112 (E)18116

S4 17. The sidelengths ofarigh t-angled triangleareingeometric progression andthe shortest sidehaslength 2.What isthe length ofthe hyp oten use? (A) 1+ √ 5 (B)√ 10 (C)3√ 2 − 1 (D)√ 11 (E)2√ 3 1 8. Jess marks fourofeigh tiden tical cards withanXand theother fourwith aY. She shuffles themandputs them facedown inaro w and challenges Miketo guess the letter oneachcard. Mikedecides tocho ose XYX YX YX Y. What isthe probabilit yof Mik ecorrectly guessingalleigh tcards? (A) 4 8 (B) 1 70 (C) 1 85 (D) 1 90 (E) 1 256 1 9. The diagonal ofarectangular tilewith integer sidesisone-third ofthe length of the diagonal ofaro w of tiles identical tothe original one.Ifthe perimeter ofthe single tileis24 cm, how man ytiles areinthe row? (A) 3 (B)6 (C)9 (D)12 (E)15 20. In the 4PQ R, 6R = 2 6P,P R = 5and QR = 4. The length ofPQ is (A) 2√ 10 (B)6 (C)7 (D)2√ 7 (E)5√ 2 Quest io ns 21 to 25, 5 m arks each 2 1. Let p(x ) be a polynomial suchthat p (x ) = (x − 2) 2012 (x + 2012) +(x − 2) 2011 (x + 2011) +··· + (x − 2)( x+ 1). The sum ofthe coefficien tsof p(x ) is (A) 1006 (B)2012 (C)2027090 (D)0 (E)1 22. Tw elvepoin tsare mark edon the circumference ofacircle. Allpossible chords that join anytw o of these poin tsare drawn. Wewill callapair ofsuc hchords free if the tw o chords inthe pair donot intersect andhave no common endpoints. The total num ber offree pairs is (A) 132 (B)210 (C)495 (D)990 (E)1485

S5 23. If xand yare positiv eintegers whichsatisfy x 2−8x − 1001 y 2=0, what isthe smallest possible value ofx+ y? (A) 73 (B)100 (C)102 (D)114 (E)136 24. A spherical ballofradius 1rests inside aholder inthe shap eof an inverted pyramid. The pyramid hasahorizon talsquare topand itsother facesareequilateral triangles. It islarge enough toenclose theball. ................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. ... ...... ...... ... . .............................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................... . ...................................................................... .. .... ...... ...... ...... ...... .... .. ...... ...... .. .... ...... ...... ...... ...... .... .. ...... ... X Ho wfar isthe centre ofthe ball abov e the apex Xofthe pyramid? (A) √ 2 (B)3 2 (C) 3− √ 2 (D)√ 3 (E)2 25. In ‘base −2’ notation, digitsare0and 1only andtheplaces goup inpow ers of − 2. For example, 110110standsfor 1 × (− 2) 5+ 1× (− 2) 4+ 0× (− 2) 3+ 1× (− 2) 2+ 1× (− 2) +0× 1= −14. If the decimal num ber 2000 iswritten inbase −2 notation, how man ynon-zero digits does itcon tain? (A) 3 (B)4 (C)5 (D)6 (E)7 For quest io ns 26 to 30, shade the answ eras an in teger from 0to 999 in t he space provided on the answ ersheet. Quest io n 26 is 6 m arks, questio n 27 is 7 m arks, questio n 28 is 8 m arks, quest io n 29 is 9 m arks andquest io n 30 is 10 m arks. 26. A courier compan yhas motorbik eswhic hcan travel 300 km onafull tank offuel. Tw ocouriers, AnnaandBrian, setofffrom thedepottogether todeliv eraletter to Connor’s house.Theycantransfer fuelbet ween thebikesat anytime butdonot return tothe depottoget more fuel.While onlyonebikeis required todeliv erthe letter, both must return tothe depot. What isthe greatest distance, inkilometres, that Connor’s housecouldbe from thedepot?

S6 27. Tw enty-eigh tpoin tsare equally spacedaround thecircumference ofacircle. What is the total num ber oftriangles whosethreevertices arefrom those tw en ty-eigh t p oin tsand thesize ofone ofthe angles istwice thesize ofanother? 28. In the grid shown, we need tofill inthe squares withnum bers sothat thenum ber in every square, exceptforthe corner ones,isthe av erage ofits neigh bours. The edge squares have three neighbours, theothers four. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................... . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............ . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +1000 +1000 −1000 − 1000 x What isthe value ofthe num ber inthe square markedx? 2 9. Terry hasinven ted anew way to extend listsofnum bers. To Ter ryfy alist such as [1, 8]he creates tw o lists [2,9]and [3,10], where eachterm isone more than the corresp onding terminthe previous list,andthen joins thethree liststogether to give[1, 8,2,9,3,10]. Ifhe starts withalist containing onenum ber [0] and rep eatedly Ter ryfies ithe creates thelist [0 ,1 ,2 ,1 ,2 ,3 ,2 ,3 ,4 ,1 ,2 ,3 ,2 ,3 ,4 ,3 ,4 ,5 ,2 ,3 ,4 ,... ]. What isthe 2012th num ber inthis Ter ryfic list? 30. If sin xcos x+ sin ycos y+ sin xsin y+ cos xcos y= 1and cos(x − y) is the smallest p ossible, whatisthe value of2x − y, expressed indegrees, thatisclosest to360 ◦?

©AMT P ublishing 2012 AMTT liMiTed Acn 0 8 3 9 5 0 3 41 AMC SOLUTIONS AND STATISTICS This book provides a record of the Australian Mathematics Competition Junior, Intermediate and Senior questions, solutions and statistics for 2012. It also includes details of medallists and prizewinners and provides statistical information on levels of Australian response rates and other information. AMC Solutions and Statistics 2012 (available early 2013) can be ordered online from the Australian Mathematics Trust website where a wide range of other products are also available. www.amt.edu.au